درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی و آمار (1) کلاس دهم انسانی و معارف
درس 3: معادلههای شامل عبارتهای گویا
فعالیت (صفحهٔ 33 تا 35 کتاب درسی)
علی هر روز صبح با دوچرخه به مدرسه میرود. او از در منزل تا سر خیابان اصلی را 4 دقیقه رکاب میزند و از آنجا تا مدرسه مسافت 2500 متری را از مسیر ویژهٔ دوچرخهسواری با سرعت متوسط 15 کیلومتر بر ساعت طی میکند.
میخواهیم با انجام فعالیت زیر مدتزمانی را که طول میکشد علی از منزل به مدرسه برسد، محاسبه کنیم.
1- دستور محاسبهٔ سرعت متوسط $v=\frac{x}{t}$ است که در آن x مسافت طی شده و t مدت زمان طی مسیر است.
دادههای مسئله را در این دستور جایگزین کنید.
2- برابری $\frac{2/5}{t}=15$ یک معادله شامل عبارت گویا $\frac{2/5}{t}$ است. از آنجا که $t\ne 0$، پس معادله بامعناست، برای حل این معادله، دو طرف را با 15- جمع کنید.
3- با مخرج مشترکگیری سمت چپ، معادله را بهصورت یک کسر بنویسید.
4- کسری که مخرج آن مخالف صفر است، فقط وقتی برابر با صفر میشود که صورت آن صفر شود، بنابراین صورت کسر بالا را برابر با صفر قرار دهید.
5- از اینجا به بعد یک معادلهٔ یک مجهولی درجه اول بهدست میآید. آنرا حل و مقدار t را محاسبه کنید.
6- مدت زمان رسیدن علی از منزل تا مدرسه چقدر است؟
مثال
معادلهٔ $\frac{10}{x-3}-\frac{5\left( x-1 \right)}{x-3}=2$ را حل کنید.
حل: با اضافه کردن 2- به دو طرف معادله خواهیم داشت:
$\frac{10}{x-3}-\frac{5\left( x-1 \right)}{x-3}-2=0$
اکنون با مخرج مشترکگیری از سمت چپ، تساوی آنرا بهصورت یک کسر بنویسید.
$\frac{10}{x-3}-\frac{5\left( x-1 \right)}{x-3}-\frac{2\left( \,\,\,\,\,\, \right)}{\left( \,\,\,\,\,\, \right)}=0\Rightarrow \frac{{}}{x-3}=0$
مشاهده میکنیم که به معادلهای نظیر $\frac{P\left( x \right)}{Q\left( x \right)}=0$ رسیدیم. بنابراین با شرط $x-3\ne 0$ و با حل معادلهٔ $P\left( x \right)=0$، ریشههای معادله را در صورت وجود پیدا میکنیم.
$21-7x=0\Rightarrow x=3$
چون $x=3$ مخرج کسرها را صفر میکند، این ریشه قابل قبول نیست و معادله ریشه ندارد.
مثال
معادلهٔ $\frac{x-2}{x-5}+\frac{x-1}{x+4}=\frac{{{x}^{2}}-6x+5}{{{x}^{2}}-x-20}$ را حل کنید.
$\begin{align}
& \frac{x-2}{x-5}+\frac{x-1}{x+4}-\frac{{{x}^{2}}-6x+5}{\left( x-5 \right)\left( x+4 \right)}=0 \\
& \Rightarrow \frac{\left( x-2 \right)\left( ......... \right)}{\left( x-5 \right)\left( ......... \right)}+\frac{\left( x-1 \right)\left( ......... \right)}{\left( x+4 \right)\left( ........ \right)}-\frac{{{x}^{2}}-6x+5}{\left( x-5 \right)\left( x+4 \right)}=0 \\
& \Rightarrow \frac{{}}{\left( x-5 \right)\left( x+4 \right)}=0\Rightarrow .........=0\Rightarrow ......... \\
\end{align}$
مثال
بهازای چه مقدار a معادلهٔ $\frac{a}{x}=\frac{x+1}{x+a}$ دارای جواب $x=1$ است.
حل: $x=1$ را در معادله قرار میدهیم و سپس مقدار a را بهدست میآوریم.
$x=1\Rightarrow \frac{a}{1}=\frac{2}{a+1}\Rightarrow \frac{a}{1}-\frac{2}{a+1}=0\Rightarrow \frac{a\left( a+1 \right)}{\left( a+1 \right)}-\frac{2}{a+1}=0$
$\begin{align} & \Rightarrow \frac{{{a}^{2}}+a-2}{a+1}=0\Rightarrow {{a}^{2}}+a-2=0\Rightarrow \left( a+2 \right)\left( a-1 \right)=0\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a=-2 \\ a=1 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{align}$
چون $a=1$ یا $a=-2$ مخرج کسرهای معادلهٔ $\frac{a}{1}-\frac{2}{a+1}=0$ را صفر نمیکنند، پس هردو قابل قبولاند.
کار در کلاس (صفحهٔ 35 کتاب درسی)
معادلههای زیر را حل کنید.
الف) $1+\frac{8}{{{x}^{2}}}=\frac{4}{x}$
ب) $\frac{x-2}{x-4}=\frac{x+1}{x+3}$
پ) $\frac{24}{10+m}+1=\frac{24}{10-m}$
ت) $\frac{y+2}{y+3}-\frac{{{y}^{2}}}{{{y}^{2}}-9}=1-\frac{y-1}{3-y}$
ث) بهازای چه مقدار a، معادله $\frac{x}{a-x}+\frac{a-x}{x}=\frac{a}{x}$ دارای جواب $x=2$ است؟
طرح و حل چند مسئله بهکمک معادلههایی شامل عبارتهای گویا
1- گلدانی نقرهای داریم که نسبت وزن نقره خالص به وزن مس خالص آن، برابر با 8 است. استاد قلمکار آنرا ذوب و 100 گرم مس به آن اضافه کرد و گلدان جدیدی ساخت.
میدانیم $\frac{4}{5}$ وزن گلدان جدید، نقره است. این گلدان قبل از ذوب شدن چه وزنی داشته است.
- حل: 
، اگر وزن مس را برابر با x در نظر بگیریم، آنگاه وزن نقره $8x$ ووزن گلدان قبل از ذوب شدن برابر با $8x+x=9x$ است.
اکنون اگر بعد از ذوب شدن 100 گرم مس به آن اضافه کنیم، وزن گلدان جدید $9x+100$ است.
از آنجا که $\frac{4}{5}$ وزن گلدان جدید نقره است؛ یعنی 
، پس داریم:
$\frac{8x}{9x+100}=\frac{4}{5}$
جواب معادلهٔ فوق $x=100$ و از آنجا که وزن گلدان قبل از ذوب شدن $9x$ است، در نتیجه وزن گلدان قبل از ذوب شدن برابر با 900 گرم است.
2- دو شیر آب A و B به یک استخر متصل اند. شیر A استخر را 10 ساعت زودتر از شیر B پُر میکند. چنانچه دو شیر را با هم باز کنیم، آنگاه استخر در 12 ساعت پُر میشود. اگر شیر B به تنهایی باز باشد، استخر در چند ساعت پُر میشود.
- حل: فرض کنیم شیر B استخر را در x ساعت پرُ کند. اگر حجم استخر را V در نظر بگیریم، پس از یک ساعت $\frac{V}{x}$ استخر پر میشود و به همین ترتیب اگر شیر A باز باشد، پس از یک ساعت $\frac{V}{x-10}$ استخر پُر میشود. حال اگر دو شیر را با هم باز کنیم، خواهیم داشت:
${\frac{V}{x} + \frac{V}{{x - 10}} = \frac{V}{{12}} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 10}} = \frac{1}{{12}} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{{x - 10}} - \frac{1}{{12}} = 0}$
${ \Rightarrow ........ + ........ - \frac{{x\left( {x - 10} \right)}}{{12x\left( {x - 10} \right)}} = 0 \Rightarrow \frac{{}}{{12x\left( {x - 10} \right)}} = 0 \Rightarrow ........}$
3- یک کیک را بین چند نفر تقسیم کردیم و به هریک مقدار مساوی رسید. سپس یک نفر دیگر به جمع آن اضافه شد و دوباره کیک را بین آنها تقسیم کردیم. در این مرحله به هر یک بهاندازهٔ $\frac{1}{6}$ کمتر رسید. مشخص رسید.
مشخص کنید در ابتدا چند نفر بودهاند؟
- حل: فرض کنید در ابتدا n نفر بودهاند؛ بنابراین به هریک $\frac{1}{n}$ کیک رسید، در مرحلهٔ بعد به هریک $\frac{1}{n+1}$ کیک رسید. از آنجا که در این مرحله به هریک $\frac{1}{6}$ کمتر رسیده است، خواهیم داشت:
$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{6}$
با حل این معادله $n=2$ بهدست میآید.
تمرین (صفحهٔ 37 تا 38 کتاب درسی)
1- معادلههای زیر را حل کنید.
الف) $\frac{3x-5}{x+3}=1$
ب) $\frac{3x-2}{x}+\frac{2x+5}{x+3}=5$
پ) $\frac{2}{x+2}+\frac{x}{x+2}=x+3$
ت) $\frac{{{x}^{2}}-2x+2}{{{x}^{2}}-2x}-\frac{1+x}{x}=\frac{x-1}{x-2}$
ث) $\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+3}=\frac{4}{x-2}$
ج) $\frac{11}{{{x}^{2}}-4}+\frac{x+3}{2-x}=\frac{2x-3}{x+2}$
2- مجموع معکوس دو عدد زوج طبیعی متوالی برابر $\frac{5}{12}$ است. آن دو عدد را پیدا کنید.
3- هنگامیکه دو چاپگر با هم کار میکنند، فیش حقوق کارگران یک کارخانه در 4 ساعت چاپ میشود.
اگر چاپگر قدیمیتر بهتنهایی برای این کار، 3 ساعت زمان بیشتری نسبت به چاپگر جدیدتر نیاز داشته باشد، در این صورت هرکدام از چاپگرها بهتنهایی در چند ساعت این کار را تکمیل میکنند؟
4- بهازای چه مقدار k، معادلهٔ $\frac{4-t}{2-2t}=\frac{3{{t}^{2}}+k}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}-68}$ داری جواب $t=-3$ است.